Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1830-1831, Tome 21.djvu/100

Note sur quelques problèmes proposés dans les
Annales ;

Extraite d’une lettre au Rédacteur ;

Par M. ***

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

La démonstration donnée par M. Lenthéric, à la pag. 379 du xx.^me volume des Annales, de la divisibilité par soixante du produit des trois côtés de tout triangle rectangle, en nombres entiers, semble réclamer un léger complément au défaut duquel elle manquerait de généralité. Il est très-vrai que tout triangle dont les trois côtés sont

$m^{2}+n^{2},\qquad m^{2}-n^{2},\qquad 2mn,$

est rectangle, quels que puissent être les deux nombres entiers $m$ et $n\,;$ mais comme tout triangle semblable à un triangle rectangle est rectangle lui même, il s’ensuit que le triangle dont les trois côtés sont

$\lambda \left(m^{2}+n^{2}\right),\qquad \lambda \left(m^{2}-n^{2}\right),\qquad 2\lambda mn,$

sera également rectangle, quels que soient les trois nombres entiers $m,n,\lambda ,$ qu’on peut bien prendre tels que le second triangle ne puisse pas rentrer dans la première forme ; comme il arrive, par exemple, en prenant $m=2,\ n=1,$$\lambda =3\,;$ d’où résulte un triangle dont les trois côtés sont $15{,}9,12.$ Mais, comme le produit des trois côtés du second triangle n’est autre que le pro-