équation qui, comparée à l’équation (3), donne
c’est-à-dire, dans tout triangle rectangle, le rectangle des rayons des cercles ex-inscrits, qui répondent aux deux côtés de l’angle droit, est équivalent au rectangle des rayons du cercle inscrit et du cercle ex-inscrit qui répond à l’hypothénuse, et l’un et l’autre sont équivalens à l’aire du triangle.
IV. Soient les quatre faces d’un tétraèdre dans leur ordre de grandeur, de la plus grande à la plus petite ; ces faces, considérées comme des plans indéfinis, diviseront l’espace en quinze régions, dont une seule finie qui sera le tétraèdre lui-même. Quatre des quatorze restantes seront terminées chacune par une des faces du tétraèdre et par les prolongemens des plans des trois autres au-delà de celle-là. Il y en aura six dont chacune sera terminée par les prolongemens des plans des quatre faces au-delà d’une même arête. Enfin, les quatre dernières seront des angles trièdres opposés à ceux du tétraèdre.
Comme quatre conditions sont nécessaires pour déterminer une sphère, ce n’est que dans les onze premières régions qu’on peut se préposer d’inscrire des sphères. Mais il est aisé voir qu’il ne saurait y en exister à la fois dans les six régions sur les arêtes, opposées deux à deux, et que l’existence d’une sphère, dans l’une d’elles, entraîne l’impossibilité d’en inscrire une dans la région qui lui est opposée.
