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En divisant chacune des trois premières par la dernière, il viendra, en chassant les dénominateurs,

$r(a+b+c)=\alpha (b+c-a)=\beta (c+a-b)=\gamma (a+b-c),$

d’où on tirera aisément

\frac{\beta(\alpha-r)}{a} \frac{\alpha(\beta-r)}{b}

${\frac {r(\alpha +\beta )}{c}}.\qquad$(12)

Ainsi (11), si les trois côtés du triangle rectangle sont commensurables, les rayons des quatre cercles le seront aussi, et réciproquement (12).

Si, par exemple, il s’agit du triangle de Pythagore, pour lequel on a $a=3,\ b=4,\ c=5,$ on aura

$\alpha =2,\qquad \beta =3,\qquad \gamma =6,\qquad r=1.$

L’équaticion $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ donne $2ab=(a+b)^{2}-c^{2}$ ou bien

$2ab=(a+b+c)(a+b-c)\,;$

mais les deux dernières équations (11) donnent

$\gamma r={\frac {a^{2}b^{2}}{(a+b+c)(a+b-c)}}\,;$

donc