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 Les corrections sont expliquées en page de discussion

postérieurement par M. Lhuilier. (Annales, tom. I, pag. 150)^[1].

Pour le triangle sphérique, on aurait

$\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}T={\frac {\sqrt {\operatorname {Tang} .\alpha \operatorname {Tang} .\beta \operatorname {Tang} .\gamma \operatorname {Tang} .r}}{2\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}a.\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}b.\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}c}}$

Si de l’équation (3) on élimine tour à tour les quatre rayons, au moyen de la relation (2), on trouvera

$T^{2}={\frac {\alpha ^{2}\beta ^{2}\gamma ^{2}}{\beta \gamma +\gamma \alpha +\alpha \beta }}=r^{2}.{\frac {\beta ^{2}\gamma ^{2}}{\beta \gamma -r(\beta +\gamma )}}=r^{2}.{\frac {\gamma ^{2}\alpha ^{2}}{\gamma \alpha -r(\gamma +\alpha )}}$

$=r^{2}.{\frac {\alpha ^{2}\beta ^{2}}{\alpha \beta -r(\alpha +\beta )}}\qquad$(4)

Des équations (1) on tire (3)

$\left.{\begin{aligned}&a={\frac {\alpha -r}{\alpha r}}.T=(\alpha -r){\sqrt {\frac {\beta \gamma }{\alpha r}}},\\\\&b={\frac {\beta -r}{\beta r}}.T=(\beta -r){\sqrt {\frac {\gamma \alpha }{\beta r}}},\\\\&c={\frac {\gamma -r}{\gamma r}}.T=(\gamma -r){\sqrt {\frac {\alpha \beta }{\gamma r}}}\,;\end{aligned}}\right\}\quad$(5)

d’où

${\frac {a\alpha }{\alpha -r}}={\frac {b\beta }{\beta -r}}={\frac {c\gamma }{\gamma -r}}={\frac {T}{r}}\,;\qquad$(6)

et par suite (3)

1. Ce théorème fait aussi partie de la note de M. Bobillier.
   J. D. G.