et si, dans la seconde, on suppose que le point fixe coïncide avec le centre de la surface, on retrouve le théorème (17).
Si, dans ce qui précède, les faces de tétraèdre avaient pour pôles, relativement à la surface du second ordre, les sommets repectivement opposés, ce qui, pour une même surface fixe du second ordre, peut avoir lieu dans une infinité de tétraèdre ; chaque arête aurait pour polaire l’arête opposée, et alors les théorèmes ci-dessus n’auraient plus d’application. Mais, en considérant ces tétraèdres relativement à une deuxième surface fixe du second ordre, ils se trouveront jouir de diverses propriétés bien remarquables, dont l’examen, fera partie d’un autre travail. Nous nous bornerons, pour le présent, à en extraire, sans les démontrer, les propositions suivantes :
24. Deux surfaces du second ordre étant données dans l’espace, si l’on conçoit un angle trièdre mobile et variable autour de son sommet fixe, tel que les polaires de ses arêtes, relatives à la première de ces deux surfaces, soient constamment dans les plans des faces respectivement opposées ;
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1.o Les points où les arêtes de l’angle trièdre variable perceront la deuxième surface seront les sommets d’un octaèdre hexagone variable, inscrit à cette deuxième surface, lequel sera constamment circonscrit à une troisième surface fixe du second ordre. |
1.o Les plans tangens menés à la deuxième surface par les polaires des arêtes de l’angle trièdre variable seront les faces d’un hexaèdre octogone variable, circonscrit à cette deuxième surface, lequel sera constamment inscrit à une troisième surface fixe du second ordre. |
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2.o Les surfaces coniques circonscrites à la deuxième surface, suivant ses intersections avec les trois faces de l’angle trièdre variable, envelopperont constam- |
2.o Les surfaces coniques circonscrites à la deuxième surface, dont les sommets seront les pôles des faces de l’angle trièdre variable, se couperont constam- |
