On petit supposer que la surface conique devient le système de deux plans, que ces plans se coupent à angles droits, qu’ils sont paiallèles, que l’un d’eux passe à l’infini ; ce qui offrira tout autant de théorèmes différens.
Les théorèmes (20) et (22) donnent lieu à deux autres théorèmes plus généraux, susceptibles de diverses conséquences.
Si, en effet, par la conique, on conçoit une surface quelconque du second ordre, la polaire, par rapport à cette surface du second ordre, d’une droite située dans le plan de la conique, percera ce plan en un point qui sera précisément le pôle de cette droite, par rapport à cette même conique ; et si, dans la surface conique, on inscrit une surface quelconque du second ordre, la polaire, par rapport à cette dernière surface, d’une droite menée par le sommet du cône, sera comprise dans le plan diamétral de ce même cône conjugué à la droite dont il s’agit nos deux théorèmes prendront donc la forme suivante :
23. Une surface du second ordre et un tétraèdre existant ensemble dans l’espace,
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Les droites menées des sommets du tétraèdre aux points où un plan fixe quelconque est percé par les polaires de ses intersections, avec les plans des faces respectivement opposées, sont quatre génératrices d’un même mode de génération d’une autre surface du second ordre. |
Les droites suivant lesquelles les plans des faces du tétraèdre sont coupés par les plans conduits par un point fixe quelconque, et par les polaires des droites qui joignent ce point fixe aux sommets respectivement opposés, sont quatre génératrices d’un même mode de génération d’une autre surface du second ordre. |
Si le plan et le point fixe sont polaires réciproques l’un de l’autre, il en sera de même des deux nouvelles surfaces du second ordre.
Si, dans la première partie du théorème, le plan transversal passe à l’infini, on retombe de nouveau sur le théorème (16),
