Et, non seulement, ces deux nouvelles surfaces du second ordre sont polaires réciproques l’une de l’autre, par rapport à la surface du second ordre proposée, mais en outre les quatre génératrices de l’une sont polaires réciproques des quatre génératrices de l’autre, chacune à chacune.
Démonstration, Les deux parties de ce théorème résultant l’une de l’autre, par la théorie des polaires réciproques, il doit nous suffire de démontrer la première.
Par la première partie du théorème (7), les droites qui joignent trois sommets du tétraèdre aux pôles des faces respectivement opposées sont comprises dans trois plans se coupant suivant une même droite qui passe par le quatrième sommet ; d’où il suit que cette dernière s’appuye à la fois sur les trois autres. Or, la droite qui joint le quatrième sommet au pôle de la face opposée a aussi ce sommet pour point commun avec cette quatrième droite ; d’où il suit que celle-ci s’appuye à la fois sur les droites qui joignent les quatre sommets aux pôles des faces respectivement opposées. On peut donc mener, par chaque sommet du tétraèdre, une droite qui s’appuye à la fois sur les quatre droites dont il s’agit ; ces quatre droites sont donc, en effet, quatre génératrices d’un même mode de génération d’une même surface du second ordre.
Les quatre droites qui, menées par les sommets du tétraèdre, s’appuyent ainsi, à la fois, sur les quatre autres, sont, comme nous en avons déjà fait la remarque (4), quatre génératrices du deuxième mode de génération de la surface du second ordre déterminée par les quatre premières.
Ce théorème est d’une grande généralité, et conduit à une multitude de propriétés nouvelles du tétraèdre.
Et, d’abord, si une ou plusieurs faces du tétraèdre dont il s’agit, sont tangentes à la surface du second ordre, ces faces auront pour pôles leurs points de contact avec elles ; comme à l’inverse, si un ou plusieurs de ses sommets sont sur cette surface, leurs plans polaires seront les plans tangens à ces sommets, d’où l’on voit déjà
