circonscrits aux surfaces du second ordre, que nous venons, comme on le voit, de déduire d’une manière fort simple des propriétés analogues et bien connues des triangles inscrits et circonscrits aux coniques, ne sont que des cas très particuliers de théorèmes généraux, relatifs à l’angle trièdre et au tétraèdre, placés d’une manière quelconque, par rapport à une surface du second ordre.
7. THÉORÈME. Si, par rapport à une même surface fixe quelconque du second ordre, on prend
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Les pôles des trois faces d’un angle trièdre, les plans conduits par ses arêtes et par les pôles des faces respectivement opposées se couperont tous trois suivant une même droite. |
Les polaires des trois arêtes d’un angle trièdre, les polaires relatives à chacune des arêtes perceront les plans des faces respectivement opposées en trois points qui appartiendront à une même droite. |
Les deux droites seront polaires l’une de l’autre, par rapport à la surface du second ordre dont il s’agit.
Démonstration. Chacune des deux parties de ce théorème résultant de l’autre, par la théorie des polaires réciproques, il nous suffira de démontrer la première.
Pour y parvenir, prenons les trois arêtes de l’angle trièdre dont il, agit pour les axes des coordonnées, et supposons qu’alors l’équation de la surface du second ordre soit
les plans conduits par les arêtes et par les pôles des faces respectivement opposées auront respectivement pour équations
