que les arêtes de l’inscrit soient les lignes de contact des faces du circonscrit,
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Les intersections des plans des faces respectivement opposées des deux tétraèdres sont situées toutes trois dans un même plan. |
Les plans déterminés par les arêtes respectivement opposées des deux tétraèdres se coupent tous trois suivant une même droite. |
Ce plan et cette droite sont polaire et pôle, l’un de l’autre, par rapport à la surface conique dont il s’agit.
Soit inscrite à la surface conique une autre surface quelconque du second ordre, cette nouvelle surface se trouvera aussi inscrite à l’angle trièdre circonscrit à la première, et ses points de contact avec les faces de cet angle trièdre se trouveront sur les arêtes de l’inscrit. De là résulte cet autre théorème :
3. Un triangle et un angle trièdre étant inscrits et circonscrits à une même surface quelconque du second ordre, de telle sorte que les sommets du triangle soient les points de contact des faces du tétraèdre,
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Les points où les directions des côtés du triangle sont coupées par les plans des faces respectivement opposées de l’angle trièdre appartiennent tous trois à une même droite. |
Les plans déterminés par les sommets du triangle et par les arêtes respectivement opposées de l’angle trièdre se coupent tous trois suivant une même droite. |
Ces deux droites sont polaires conjuguées l’une de l’autre, par rapport à la surface du second ordre dont il s’agit.
Il est clair que, réciproquement, quand trois points seront pris respectivement sur les faces d’un angle trièdre, de telle sorte que l’une des lieux parties du théorème ait lieu, l’autre aura lieu également, et alors une infinité de surfaces du second ordre pourront toucher les faces de l’angle trièdre en ces trois points ; toutes ces surfaces se couperont suivant une même ligne du second ordre, circonscrite au triangle qui a ses sommets en ces trois points, et inscrite
