tre cercles inscrits et ex-inscrits au triangle c’est-à-dire, chacun des quatre cercles qui peuvent toucher à la fois les trois côtés de ce triangle ».
Comme les propriétés de l’ellipse démontrées ci-dessus (5) ont lieu d’une manière analogue pour toutes les autres coniques, ce qui se prouve par de semblables considérations, on peut établir ce théorème plus général :
« Chaque point pris à volonté dans le plan d’un triangle donné, est le foyer d’une conique inscrite ou ex-inscrite à ce triangle ; conique de laquelle on peut, par une construction facile, déterminer l’autre foyer, le centre et le premier axe »
Proposons-nous d’abord de découvrir quelle relation il peut y avoir entre la nature de la conique et la situation, par rapport au triangle, du point pris arbitrairement pour foyer.
8. Soit (fig. 3) le triangle donné, et soit un point pris arbitrairement sur son plan pour foyer «d’une conique touchant à la fois les trois côtés de ce triangle.
De ce point soient menées les droites aux deux sommets de ce triangle. Pour déterminer l’autre foyer de la courbe, il faudra (5) conduire par les points deux droites formant, respectivement avec ou leurs prolongemens, des angles égaux à et le point de concours de ces deux droites sera le second foyer cherché. Afin donc que la courbe soit une parabole, il faudra que ce second foyer soit infiniment distant du premier, ou, ce qui revient au même, il faudra que les deux droites soient parallèles ; et réciproquemment, toutes les fois que ces deux droites seront parallèles, la courbe sera une parabole.
