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l’endroit cité, par M. Lobatto, peuvent au surplus être directement établis, d’une manière fort simple, par les considérations suivantes :

I. Les trois triangles $T,T',T''$ sont semblables au triangle $\Delta ,$ et chaque côté de ce dernier est évidemment la somme de ses homologues dans les trois autres ; or, les côtés homologues des triangles semblables sont proportionnels aux racines quarrées de leurs aires ; donc on doit avoir aussi

${\sqrt {\Delta }}={\sqrt {T}}+{\sqrt {T'}}+{\sqrt {T''}},$

et par suite

$\Delta =\left({\sqrt {T}}+{\sqrt {T'}}+{\sqrt {T''}}\right)^{2}.$

II. Les quatre tétraèdres $T,T',T'',T'''$ sont semblables au tétraèdre $\Delta ,$ et chaque arête de ce dernier est évidemment la somme de ses homologues dans les trois autres ; ors les arêtes homologues des tétraèdres semblables sont proportionnelles aux racines cubiques de leurs volumes ; donc on doit avoir aussi

${\sqrt[{3}]{\Delta }}={\sqrt[{3}]{T}}+{\sqrt[{3}]{T'}}+{\sqrt[{3}]{T''}}+{\sqrt[{3}]{T'''}},$

et par suite

$\Delta =({\sqrt[{3}]{T}}+{\sqrt[{3}]{T'}}+{\sqrt[{3}]{T''}}+{\sqrt[{3}]{T'''}})^{3}.$

À l’aide de ces considérations on reconnaîtra immédiatement la vérité des deux théorèmes que voici, et dont le premier est celui dont on s’occupe spécialement dans l’endroit cité de la correspondance. Il est surprenant qu’aucun des géomètres qui l’ont traité, n’ait songé à le ramener à des considérations aussi simples.

THÉORÈME III. Si, sur l’un des côtés d’un triangle, on prend arbitrairement $\mathrm {n}$ points, et que, par chacun d’eux, on mène des parallèles à ses deux autres côtés, ces parallèles diviseront