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Cela posé, on aura

$\Delta =T+T'+T''+T'''+P+P'+P''+P'''$

$+(pp')+(pp'')+(p'p'')+(p''p''')+(p'p''')+(pp'''),$

mais on a trouvé (Annales, tom. xviii, pag. 122)

$P=6{\sqrt[{3}]{T'T''T'''}},\ P'=6{\sqrt[{3}]{TT''T'''}},\ P''=6{\sqrt[{3}]{TT'T'''}},\ P'''=6{\sqrt[{3}]{TT'T''}},$

${\begin{aligned}(pp')\ \ =3{\sqrt[{3}]{T''^{2}T'''}}+3{\sqrt[{3}]{T''T'''^{2}}},&\quad (p''p''')=3{\sqrt[{3}]{T^{2}T'}}+3{\sqrt[{3}]{TT'^{2}}},\\\\(pp'')\ =\,3{\sqrt[{3}]{T'^{2}T'''}}+\ 3{\sqrt[{3}]{T'T'''^{2}}},&\quad (p'p''')=3{\sqrt[{3}]{T^{2}T''}}+3{\sqrt[{3}]{TT''^{2}}},\\\\(p'p'')=\ \,3{\sqrt[{3}]{T^{2}T'''}}+\ \ 3{\sqrt[{3}]{TT'''^{2}}},&\quad (pp''')=3{\sqrt[{3}]{T'^{2}T''}}+3{\sqrt[{3}]{T'T''^{2}}},\end{aligned}}$

donc

$\Delta =T+T'+T''+T'''+3{\sqrt[{3}]{T^{2}T'}}+3{\sqrt[{3}]{TT'^{2}}}+3{\sqrt[{3}]{T^{2}T''}}+3{\sqrt[{3}]{TT''^{2}}}$

${\begin{aligned}&+3{\sqrt[{3}]{T'^{2}T''}}+3{\sqrt[{3}]{T'T''^{2}}}+3{\sqrt[{3}]{T^{2}T''}}+3{\sqrt[{3}]{TT''^{2}}}\\\\&+3{\sqrt[{3}]{T'^{2}T'''}}+3{\sqrt[{3}]{T'T'''^{2}}}+3{\sqrt[{3}]{T''^{2}T'''}}+3{\sqrt[{3}]{T''T'''^{2}}}\\\\&+6{\sqrt[{3}]{T'T''T'''}}+6{\sqrt[{3}]{TT''T'''}}+6{\sqrt[{3}]{TT'T'''}}+6{\sqrt[{3}]{TT'T''}}\,;\end{aligned}}$

c’est-à-dire,

$\Delta =\left({\sqrt[{3}]{T}}+{\sqrt[{3}]{T'}}+{\sqrt[{3}]{T''}}+{\sqrt[{3}]{T'''}}\right)^{3},$

comme nous l’avions annoncé.

Ces deux théorèmes, dont le premier avait déjà été remarqué en

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Correction (les gros systèmes, plusieurs erreurs) : « nombre d’apostrophes » → «  » (coquille : le nombre d’apostrophes des T doit être le complémentaire de celui des p)