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vertical qui passe par la ligne de contact qui répond à l’époque $t\,;$ l’un de ces deux-ci est évidemment ${\frac {2\varpi t}{T}},$ et quant à l’autre, c’est un des angles dièdres obliques de notre angle trièdre rectangle, en le représentant par $\xi ,$ on aura

$\operatorname {Cot} .\varphi \operatorname {Cos} .\xi =\operatorname {Tang} .\alpha ,$

d’où

$\xi =\operatorname {Arc} .(\operatorname {Cos} .=\operatorname {Tang} .\alpha \operatorname {Tang} .\varphi ),$

et conséquemment

$\psi ={\frac {2\varpi t}{T}}+\operatorname {Arc} .(\operatorname {Cos} .=\operatorname {Tang} .\alpha \operatorname {Tang} .\varphi )\,;\qquad$(15)

en joignant à ces équations l’équation (3), c’est-à-dire

$\left({\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} t}}-{\frac {2\varpi \operatorname {Sin} .\alpha }{T}}\right)^{2}$

$=4\varpi ^{2}\left({\frac {1}{\tau }}-{\frac {\operatorname {Sin} .\alpha }{T}}\right)^{2}+2m\operatorname {Cos} .\alpha \left\{\operatorname {Cos} .\beta -\operatorname {Cos} .\left(\theta -{\frac {2\varpi t\operatorname {Sin} .\alpha }{T}}\right)\right\},$(3)

et éliminant donc $t$ et $\theta$ entre elle, l’équation résultante en $\varphi$ et $\psi$ sera l’équation polaire cherchée de la surface conique décrite par le rayon vecteur de la sphère mobile.

En raisonnant uniquement dans l’hypothèse $H=0,$ déjà admise ci-dessus, l’équation (13) donne

$\theta -{\frac {2\varpi t\operatorname {Sin} .\alpha }{T}}=4\operatorname {Arc} .\left\{\operatorname {Tang} .=e^{t{\sqrt {m\operatorname {Cos} .\alpha }}}.\operatorname {Tang} .{\frac {1}{4}}\beta \right\}\,;$

mais l’équation (14) donne

$\theta -{\frac {2\varpi t\operatorname {Sin} .\alpha }{T}}=\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Cos} .={\frac {\operatorname {Sin} .\varphi }{\operatorname {Cos} .\alpha }}\right)\,;$