Si l’on remarque présentement que, par quatre points donnés, on peut, en général, faire passer une hyperbole équilatère, on obtiendra ce nouveaa théorème :
Quatre points étant donnés sur un plan si, de chacun d’eux, on abaisse des perpendiculaires sur les directions des trois côtés du triangle qui a ses sommets aux trois autres points, les circonférences, qui passeront par les pieds des perpendiculaires relatives à ces triangles, se couperont toutes quatre en un même point, centre de l’hyperbole équilatère contenant les quatre points donnés.
Il est visible que, si les quatre points donnés appartiennent à une même circonférence, les quatre circonférences dont il s’agit se réduiront à quatre droites concourant en un même point[1].
Voilà donc un procédé fort simple pour construire le centre d’une hyperbole équilatère, assujétie à passer par quatre points donnés. Une fois ce centre obtenu, on obtiendra tant d’autres points de là courbe qu’on voudra, par le procédé indiqué plu» haut.
L’hyperbole équilatère étant à elle-même sa directrice, la polaire réciproque de l’avant-dernier théorème sera le suivant :
Si l’on circonscrit arbitrairement un triangle à une hyperbole équilatère et qu’on lui mène une tangente également arbitraire, en construisant ensuite, sur les droites qui joignent le centre de la courbe aux trois sommets du triangle, comme côtés de l’angle droit, trois triangles rectangles dans lesquels l’autre côté de l’angle droit soit dirigé de ce centre vers la tangente, et s’y termine, le cercle circonscrit au triangle formé par les hypothénuses de ces trois triangles passera par le centre de l’hyperbole.
Concevons présentement que le triangle inscrit à l’hyperbole équilatère, dont il a été question ci-dessus, ait deux de ses côtés parallèles aux asymptotes de la courbe, son troisième côté passera à l’infini, et nous aurons cet autre théorème :
- ↑ Voy. la pag. 45 du présent volume.
J. D. G.
