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de retrancher l’équation (18) de l’équation (15), et de diviser ensuite l’équation (16) par l’équation (19) ; il vient ainsi

$v-b=v'-b',\qquad$(21)

${\frac {v+s}{v'+s'}}=e^{\frac {a-a'}{z}}.\qquad$(22)

de sorte qu’on aura, pour déterminer $v,v',s,s',z$ les cinq équations (14), (17), (20), (21), (22).

L’équation (21) montre que, dans le cas d’équilibre, les parties extrêmes du fil, pendant verticalement, doivent se terminer sur la même droite horizontale^[1].

En égalant les valeurs de $z^{2}$, données par les équations (17) et (20), on en conclut

$v^{2}-s^{2}=v'^{2}-s'^{2},\qquad$(23)

équation qui exprime ce théorème : si l’on construit un triangle dont la base soit égale à la longueur de la partie intermédiaire, courbée en chaînette, du fil en équilibre, et dont les deux autres côtés soient égaux en longueur aux parties extrêmes de ce fil, pendant verticalement ; la perpendiculaire abaissée du sommet du triangle, sur la direction de cette base, la divisera en deux segmens respectivement égaux aux longueurs des deux segmens de la partie intermédiaire, comptés depuis son point le plus bas.

Pour simplifier le problème, supposons que les deux points fixes soient situés sur la même horizontale, à la distance $2d$ l’un de l’autre ; on aura ainsi $b'=b$ et $a-a'=2d,$ on en conclura, par l’équation (21),

1. On conclura facilement de là que, quel que puisse être le nombre des points d’appui, et, par suite, le nombre des parties intermédiaires ployées en chaînettes, toujours les parties extrêmes, pendant verticalement, devront, dans le cas d’équilibre, se terminer sur la même horizontale.