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son autre extrémité, est au sinus de l’angle des tangentes aux deux extrémités. On a donc cette double équation

${\frac {s}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} s}}}={\frac {z}{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} s}}}=v\,;$

d’où on conclut ces deux-ci,

$z{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=s,\quad (1)\qquad v=z{\frac {\operatorname {d} s}{\operatorname {d} x}}.\quad (2)$

En différentiant la première, il vient

$z{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}={\frac {\operatorname {d} s}{\operatorname {d} x}}={\sqrt {1+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}}},$

ou bien

$z{\frac {\operatorname {d} \left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)}{\sqrt {1+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}}}}=\operatorname {d} x\,;$

d’où, en intégrant,

$z\operatorname {Log} .\left\{{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+{\sqrt {1+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}}}\right\}=x\,;$

nous n’ajoutons point de constante, parce que $x$ et ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}$ doivent être nuls en même temps.

Cette intégrale revient à

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+{\sqrt {1+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}}}=e^{\frac {x}{z}},$