un système de deux axes de symptose, parce qu’il en existe généralement trois dont la recherche donne lieu à une équation du troisième degré qui doit avoir au moins une racine réelle.
Dans le cas énoncé où deux coniques n’ont aucun point commun, il ne saurait exister un deuxième système de deux axes de symptose ; car ces deux axes couperaient les deux premiers en quatre points réels qui appartiendraient à la fois aux deux coniques, ce qui est contre l’hypothèse.
56. Nous venons de passer en revue les différens cas que peut offrir le système de deux coniques, et notre discussion nous a conduit au résumé que voici :
Deux coniques situées dans un même plan ont six axes de symptose et six centres d’homologie quand elles se coupent en quatre points et qu’elles ont quatre tangentes communes.
Dans tous les autres cas, même dans celui où elles se coupent en quatre points, sans avoir de tangentes communes, elles n’ont que deux axes de symptose et deux centres d’homologie.
57. La discussion précédente fait voir qu’il était indispensable de donner un nom particulier à celles des cordes communes à deux coniques que nous avons appelées axes de symptose, et que la dénomination simple de cordes communes est insuffisante, puisqu’il peut arriver que, six cordes étant réelles, il n’y en ait pourtant que deux qui jouissent des propriétés qui constituent les axes de symptose.
C’est par une raison toute semblable que l’on n’aurait pu désigner simplement les centres d’homologie comme les points de concours des tangentes communes aux deux coniques, puisqu’il peut arriver que deux seulement de ces six points jouissent des propriétés qui constituent les centres d’homologie.
58. Malgré la différence qui peut exister (51) entre les six cordes communes à deux coniques, il est une propriété générale qui leur appartient à toutes indistinctement, et que nous n’avons démontrée que pour les axes de symptose ; elle consiste en ce que les polaires
