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${\frac {a^{2}}{A}}+{\frac {b^{2}}{B}}+{\frac {c^{2}}{C}}=1,\quad {\frac {a'^{2}}{A'}}+{\frac {b'^{2}}{B'}}+{\frac {c'^{2}}{C'}}=1,\quad {\frac {a''^{2}}{A''}}+{\frac {b''^{2}}{B''}}+{\frac {c''^{2}}{C''}}=1,\quad$(6)

$ax+by+cz=1,\quad a'x+b'y+c'z=1,\quad a''x+b''y+c''z=1,\quad$(7)

$a'a''+b'b''+c'c''=0,\quad a''a+b''b+c''c=0,\quad aa'+bb'+cc'=0\,;\quad$(8)

les équations (5) et (8) pourront alors être écrites comme il suit :

$\left.{\begin{aligned}&\left({\frac {a}{r}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{r}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{r}}\right)^{2}=1,\\&\qquad \qquad \left({\frac {a'}{r'}}\right)\left({\frac {a''}{r''}}\right)+\left({\frac {b'}{r'}}\right)\left({\frac {b''}{r''}}\right)+\left({\frac {c'}{r'}}\right)\left({\frac {c''}{r''}}\right)=0,\\\\&\left({\frac {a'}{r'}}\right)^{2}+\left({\frac {b'}{r'}}\right)^{2}+\left({\frac {c'}{r'}}\right)^{2}=1,\\&\qquad \qquad \left({\frac {a''}{r''}}\right)\left({\frac {a}{r}}\right)+\left({\frac {b''}{r''}}\right)\left({\frac {b}{r}}\right)+\left({\frac {c''}{r''}}\right)\left({\frac {c}{r}}\right)=0,\\\\&\left({\frac {a''}{r''}}\right)^{2}+\left({\frac {b''}{r''}}\right)^{2}+\left({\frac {c''}{r''}}\right)^{2}=1,\\&\qquad \qquad \left({\frac {a}{r}}\right)\left({\frac {a'}{r'}}\right)+\left({\frac {b}{r}}\right)\left({\frac {b'}{r'}}\right)+\left({\frac {c}{r}}\right)\left({\frac {c'}{r'}}\right)=0\,;\end{aligned}}\right\}$(9)

or, il est connu qu’à six pareilles relations entre neuf quantités, on peut, comme équivalentes, substituer les suivantes^[1] :

1. Soient, en effet, deux systèmes de coordonnées rectangulaires de même origine, et soient $(x,y,z),(t,u,v)$ un même point considéré, tour à tour, dans les deux systèmes. Le carré de sa distance à l’origine devant être le même pour ces deux systèmes, on devra avoir, quel que soit ce point,
   $x^{2}+y^{2}+z^{2}=t^{2}+u^{2}+v^{2}.\qquad$(1)

   Présentement, les coordonnées $x,y,z$ devant être des fonctions linéaires de $t,u,v$ qui doivent s’évanouir en même temps que ces dernières, on peut écrire

   $x=pt+p'u+p''v,\quad y=qt+q'u+q''v,\quad z=rt+r'u+r''v,\quad$(2)

   ce qui donnera en substituant dans (1), transposant et développant