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II. Soient trois ellipsoïdes concentriques, dont les diamètres principaux coïncident ; et supposons que leurs équations, relatives à ces trois droites, soient

$Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}=1,\quad A'x^{2}+B'y^{2}+C'z^{2}=1,$

$A''x^{2}+B''y^{2}+C''z^{2}=1.$

Soit un angle trièdre tri-rectangle, mobile dans l’espace, dont les faces touchent respectivement ces trois ellipsoïdes ; en désignant par $(\alpha ,\beta ,\gamma ),(\alpha ',\beta ',\gamma '),(\alpha '',\beta '',\gamma '')$ les trois points de contact variables, nous aurons d’abord

$A\alpha ^{2}+B\beta ^{2}+C\gamma ^{2}=1,\quad A'\alpha '^{2}+B'\beta '^{2}+C'\gamma '^{2}=1,$

$A''\alpha ''^{2}+B''\beta ''^{2}+C''\gamma ''^{2}=1.\quad$(1)

Les équations des trois faces de cet angle trièdre seront respectivement

$A\alpha x+B\beta y+C\gamma z=1,\quad A'\alpha 'x+B'\beta 'y+C'\gamma 'z=1,$

$A''\alpha ''x+B''\beta ''y+C''\gamma ''z=1.\quad$(2)

et, parce que l’angle trièdre est tri-rectangle, nous aurons, en outre

$A'A''\alpha '\alpha ''+B'B''\beta '\beta ''+C'C''\gamma '\gamma ''=0,\quad A''A\alpha ''\alpha +B''B\beta ''\beta +C''C\gamma ''\gamma =0,$

$AA'\alpha \alpha '+BB'\beta \beta '+CC'\gamma \gamma '=0,\qquad$(3)

or, bien que ces équations «e soient qu’au nombre de neuf seulement, on peut néanmoins éliminer entre elles les neufs coordonnées des trois points de contact, et l’équation résultante, en $x,y,z,$ sera celle de la surface décrite dans l’espace par le sommet de l’angle trièdre mobile.

Soient posés

$A\alpha =a,\quad B\beta =b,\quad C\gamma =c,\quad A'\alpha '=a',\quad B'\beta '=b',\quad C'\gamma '=c',$

$A''\alpha ''=a'',\quad B''\beta ''=b'',\quad C''\gamma ''=c'',\qquad$(4)

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=r^{2},\ \ a'^{2}+b'^{2}+c'^{2}=r'^{2},\ \ a''^{2}+b''^{2}+c''^{2}=r''^{2}\,;$ (5)

les équations (1), (2), (3) deviendront ainsi