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${\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {1}{r'^{2}}}={\frac {1}{A}}+{\frac {1}{B'}}={\frac {1}{A'}}+{\frac {1}{B}}\,;$

au moyen de quoi l’équation (11) deviendra

$x^{2}+y^{2}={\frac {1}{A}}+{\frac {1}{B'}}={\frac {1}{A'}}+{\frac {1}{B}}\,;$

ce qui permet d’écrire, pour plus de symétrie,

$x^{2}+y^{2}={\frac {1}{2}}\left\{\left({\frac {1}{A}}+{\frac {1}{B}}\right)+\left({\frac {1}{A'}}+{\frac {1}{B'}}\right)\right\}\,;\qquad$(13)

équation d’un cercle qui a son centre à l’origine.

Si, au lieu de deux ellipses, on avait deux hyperboles, ou bien une ellipse et une hyperbole, il n’y aurait rien de changé que les signes de $B$ et de $B',$ ou de l’un d’eux seulement, ce qui pourrait quelquefois réduire le cercle à un point ; ou même le rendre imaginaire. On a donc ce théorème :

THÉORÈME I. Si un angle droit se meut sur un plan, de telle sorte que les côtés touchent respectivement deux coniques bi-confocales, son sommet décrira la circonférence qui leur sera concentrique.

Le carré du rayon de ce cercle sera égal à la demi-somme des carrés des cordes qui, dans les deux coniques, joindront deux sommets consécutifs.

Soit $e$ l’excentricité commune aux deux courbes, et soient respectivement $f$ et $f'$ les distances de leurs sommets à un même foyer, nous aurons

${\begin{array}{ll}{\frac {1}{A}}-{\frac {1}{B}}=e^{2},&{\frac {1}{A'}}-{\frac {1}{B'}}=e^{2},\\\\{\frac {1}{A}}=(e+f)^{2},&{\frac {1}{A'}}=(e+f')^{2},\end{array}}$

d’où nous conclurons