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 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$\left({\frac {a}{r}}\right)^{2}+\left({\frac {a'}{r'}}\right)^{2}=1,\qquad \left({\frac {b}{r}}\right)^{2}+\left({\frac {b'}{r'}}\right)^{2}=1,$

$\left({\frac {a}{r}}\right)\left({\frac {b}{r}}\right)+\left({\frac {a'}{r'}}\right)\left({\frac {b'}{r'}}\right)=0.\quad$(10)

Cela posé, les équations (7) peuvent être écrites ainsi :

${\frac {a}{r}}x+{\frac {b}{r}}y={\frac {1}{r}},\qquad {\frac {a'}{r'}}x+{\frac {b'}{r'}}y={\frac {1}{r'}}\,;$

pour les deux systèmes, on devra avoir, quel que soit ce point, x^2+y^2=t^2+u^2.\qquad (1)

Présentement les coordonnées $x$ et $y$ devant être des fonctions linéaires de $t$ et $u$ qui doivent s’évanouir en même temps que ces dernières, on peut écrire

$x=pt+p'u,\qquad y=qt+q'u\,;\qquad$(2)

ce qui donnera, en substituant dans (1), transposant et développant,

$\left(p^{2}+q^{2}-1\right)t^{2}+\left(p'^{2}+q'^{2}-1\right)u^{2}+2(pp'+qq')tu=0\,;$

équation qui, par ce qu’elle doit être identique, donne

$p^{2}+q^{2}=1,\qquad p'^{2}+q'^{2}=1,\qquad pp'+qq'=0.\qquad$(3)

D’un autre côté, si l’on prend, tour à tour, la somme des produits des équations (2), d’abord par $p$ et $q$, puis par $p'$ et $q'$, en ayant égard aux relations (3), il viendra

$t=px+qy,\qquad u=p'x+q'y\,;\qquad$(4)

substituant dans (1), transposant et développant, on aura

$\left(p^{2}+p'^{2}-1\right)x^{2}+\left(q^{2}+q'^{2}-1\right)y^{2}+2(pq+p'q')xy=0\,;$

équation qui, devant aussi être identique, donne

$p^{2}+p'^{2}=1,\qquad q^{2}+q'^{2}=1,\qquad pq+p'q'=0\,;\qquad$(5)

relations qui, conséquemment, doivent être équivalentes aux relations (3). Nous nous sommes déjà appuyés sur cette équivalence à la pag. 159 du xii.^e volume du présent recueil.

J. D. G.