Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1828-1829, Tome 19.djvu/299

$r=R-{\frac {gT^{2}}{4\varpi ^{2}}}\left(1-{\frac {\operatorname {Sin} .2\varpi t}{T}}\right),\qquad$(6)

on conclura de là les plus grandes et les moindres valeurs de $r,$ en y mettant pour $t$la valeur ${\frac {(2n+1)T}{4}}$ qui répond aux maxima et minima, ce qui donnera

$r=R-{\frac {gT^{2}}{4\varpi ^{2}}}(1\pm 1)$

c’est-à-dire,

$r=R,\qquad r=R-{\frac {gT^{2}}{2\varpi ^{2}}},$

de sorte que le centre de la sphère mobile passera ou ne passera pas par le centre du mouvement, suivant que ${\frac {gT^{2}}{2\varpi ^{2}}}$ sera plus grand ou plus petit que $R.$ Quant aux époques de ces passages, on les trouvera en résolvant l’équation (6) par rapport à $t,$ après y avoir fait $r=0,$ ce qui donnera

$t={\frac {T}{2\varpi }}\left\{\operatorname {Arc} .\left[\operatorname {Sin} .=\left(1+{\frac {4\pi ^{2}R}{gT}}\right)\right]\right\}.$

Ajoutons que, dans le cas actuel, l’équation polaire de la trajectoire se réduira simplement à

$r=R-{\frac {gT^{2}}{4\pi ^{2}}}\left(1-\operatorname {Sin} .\theta \right)=R-{\frac {gT^{2}}{4\pi ^{2}}}\operatorname {Cos} .^{2}\left({\frac {1}{4}}\varpi +{\frac {1}{2}}\theta \right).$

Il est entendu que, dans tout ce qui précède, on doit supposer le diamètre de la sphère mobile assez petit, pour qu’on puisse se dispenser d’avoir égard aux momens d’inertie.