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$r=\left(R-{\frac {gT^{2}}{4\varpi ^{2}}}\operatorname {Sin} .\alpha \right)+\left(V-{\frac {gT}{2\varpi }}\operatorname {Cos} .\alpha \right){\frac {T(\theta -\alpha )}{2\varpi }}+{\frac {gT^{2}}{4\varpi ^{2}}}\operatorname {Sin} .\theta \,;$

équation qui servira à construire la courbe par points, et de laquelle on conclurait aisément l’équation en coordonnées rectangulaires.

Ces résultats deviennent plus simples lorsqu’on suppose que le tube part de la direction verticale et que la sphère mobile n’a reçu aucune impulsion ; on a alors $V=0\ \alpha ={\frac {1}{2}}\varpi$, d’où $\operatorname {Sin} .\alpha =1$ et $\operatorname {Cos} .\alpha =0\,;$ en conséquence on trouve, d’abord pour la force accélératrice,

${\frac {\operatorname {d} ^{2}r}{\operatorname {d} t^{2}}}=-g\operatorname {Sin} .{\frac {2\varpi t}{T}}\,;$

cette force accélératrice sera nulle, et conséquemment la vîtesse du centre de la sphère mobile aura atteint son maximum ou son minimum, lorsqu’on aura ${\frac {nT}{2}},$ c’est-à-dire à chaque demi-révolution ; on trouvera ensuite, pour la vîtesse du mobile, à l’époque $t,$

$v={\frac {gT}{2\varpi }}\operatorname {Cos} .{\frac {2\varpi }{T}}\,;$

cette vîtesse sera nulle, et conséquemment le rayon $vecteurr$ atteindra son maximum ou son minimum, lorsqu’on aura $t={\frac {(2n+1)T}{4}},$ c’est-à-dire, toutes les fois que le tube parviendra à la situation horizontale. Si, dans cette valeur de $v\,;$ on fait $t={\frac {nT}{2}},$ on aura pour le maximum et le minimum de vîtesse, répondant à la situation verticale du tube,

$v=\pm {\frac {gT}{2\varpi }}.$

On trouvera enfin, dans la même hypothèse,