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fût compris entre les limites $+1$ et $-1,$ ou, ce qui revient au même, que $R$ fût compris entre ces deux-ci :

$\pm {\frac {gT^{2}}{4\varpi ^{2}}}(1\pm \operatorname {Sin} .\alpha )\,;$

ce qui concorde exactement avec ce qui vient d’être dit ci-dessus.

Si, pour le cas général, on se demandait les époques où le centre de la sphère mobile passera par le centre du mouvement, il faudrait, dans l’équation (4), poser $r=0,$ et la résoudre ensuite par rapport à $t\,;$ et l’on voit qu’on aurait ainsi à résoudre un problème du même genre que le problème de Képler, puisque $t$ entre à la fois, dans cette équation, algébriquement et sous le signe sinus.

Il sera plus aisé, dans le cas général, de connaître les maxima et minima de la distance $r$ ; il sufiira en effet, pour cela, d’introduire dans la formule (4) la valeur de $V-{\frac {gT}{2\varpi }}$ donnée par l’équation (5) ; ce qui donnera

$r=\left(R-{\frac {gT^{2}}{4\varpi ^{2}}}\operatorname {Sin} .\alpha \right)-{\frac {gT}{2\varpi }}\left\{t\operatorname {Cos} .\left(\alpha +2\varpi {\frac {t}{T}}\right)-{\frac {T}{2\varpi }}\operatorname {Sin} .\left(\alpha +2\varpi {\frac {t}{T}}\right)\right\}.$

Si l’on prend pour pôle le centre du mouvement, et que l’on représente par $\theta$ l’angle que fait le rayon vecteur avec l’horizontale menée dans le plan vertical fixe, par le centre du mouvement, on aura

$\theta =\alpha +2\varpi {\frac {t}{T}},\quad$d’où$\quad t={\frac {T(\theta -\alpha )}{2\varpi }}\,;$

substituant donc cette valeur dans l’équation (4), on obtiendra pour l’équation polaire de la trajectoire décrite par le centre de la sphère mobile dans le plan vertical fixe,