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à raison de leur extrême simplicité et de leur parfaite symétrie, d’un emploi très-commode, surtout lorsque $P,Q,R$ seront respectivement des fonctions de $x,y,z$ seulement.

Ces équations (16) pourront également servir, soit à déterminer les circonstances du mouvement, lorsque la nature du milieu sera donnée, soit au contraire à déterminer la nature du milieu, lorsque les circonstances du mouvement seront connues.

Pour donner un exemple du premier de ces deux cas, supposons que les couches de densité constante soient des couches ellipsoïdales concentriques, semblables et semblablement disposées, ayant le point $(a,b,c)$ pour centre commun, et leurs axes proportionnels à trois quantités $p,q,r$. Supposons, en outre, que la densité de ces couches croisse du dedans au dehors, proportionnellement aux carrés de leurs dimensions, en prenant les axes des coordonnées respectivement parallèles aux diamètres principaux de ces surfaces, on aura

$u=\left({\frac {x-a}{p}}\right)^{2}+\left({\frac {y-b}{q}}\right)^{2}+\left({\frac {z-c}{r}}\right)^{2}.\qquad$(17)

On trouvera conséquemment

$P=\left({\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} x}}\right)=2\left({\frac {x-a}{p^{2}}}\right),\qquad Q=\left({\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} y}}\right)=2\left({\frac {y-b}{q^{2}}}\right),$

$R=\left({\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} z}}\right)=2\left({\frac {z-c}{r^{2}}}\right)\,;$

au moyen de quoi les équations (16) deviendront

${\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}=4k^{2}\left({\frac {x-a}{p^{2}}}\right),\quad {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}=4k^{2}\left({\frac {y-b}{q^{2}}}\right),\quad {\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} t^{2}}}=4k^{2}\left({\frac {z-c}{r^{2}}}\right),$

et donneront, en intégrant