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Enfin, la vîtesse absolue $v$ de la molécule, en $(x,y,z),$ où la densité du milieu est $u$ devant être la même que si cette molécule y était parvenue du vide, sans aucun intermédiaire ; en désignant toujours par $w$ la vîtesse connue de la lumière dans le vide on devra avoir encore, d’après ce qui a été dit ci-dessus,

$v^{2}=w^{2}+4k^{2}u\,;$

ce qui donnera, pour la troisième équation du mouvement de la molécule

$\left({\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} t}}\right)^{2}=w^{2}+4k^{2}u\,;\quad$(13)

mais nous allons voir que ces trois équations peuvent être remplacées par trois autres, incomparablement plus simples.

On satisfait d’abord visiblement aux deux équations (8) et (12), quel que soit $\lambda ,$ en posant

${\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}=\lambda P,\quad {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}=\lambda Q,\quad {\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} t^{2}}}=\lambda R\,;\qquad$(14)

mais, en différentiant l’équation (13), on obtient

${\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}+{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}+{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} t}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} t^{2}}}=2k^{2}\left(P{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}+Q{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}+R{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} t}}\right),$ (15)

qui, en y substituant les valeurs (14), se réduit à $\lambda =2k^{2}\,;$ de sorte que les équations (14), c’est-à-dire, les équations du mouvement de la molécule sont simplement

${\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}=2k^{2}P,\quad {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}=2k^{2}Q,\quad {\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} t^{2}}}=2k^{2}R\,;\qquad$(16)

équations qui comportent d’ailleurs l’équation (13), et qui seront,