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QUESTIONS RÉSOLUES.

Solution du problème de géométrie énoncé à
la pag. 96 du présent volume ;

Par M. Vallès, élève ingénieur des ponts et chaussées.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

Soient inscrits à un angle donné $2\alpha$ deux cercles se touchant extérieurement. Soient $r,r'$ les rayons de ces cercles, et $d,d'$ les distances de leurs centres au sommet de l’angle ; en supposant $r>r',$ et par suite $d>d',$ on aura évidemment

$r=d\operatorname {Sin} .\alpha ,\quad r'=d'\operatorname {Sin} .\alpha ,\quad r+r'=d-d'\,;$

éliminant $d$ et $d'$ entre ces trois équations, on en tirera

${\frac {r}{r'}}={\frac {1+\operatorname {Sin} .\alpha }{1-\operatorname {Sin} .\alpha }}$^[1] :

1. On peut écrire
   ${\frac {r}{r'}}={\frac {1+\operatorname {Sin} .\alpha }{1-\operatorname {Sin} .\alpha }}=\left({\frac {{\sqrt {1+\operatorname {Cos} .\alpha }}+{\sqrt {1-\operatorname {Cos} .\alpha }}}{{\sqrt {1+\operatorname {Cos} .\alpha }}-{\sqrt {1-\operatorname {Cos} .\alpha }}}}\right)^{2}=\left\{{\frac {1+{\sqrt {\frac {\sqrt {1-\operatorname {Cos} .\alpha }}{\sqrt {1+\operatorname {Cos} .\alpha }}}}}{1-{\sqrt {\frac {\sqrt {1-\operatorname {Cos} .\alpha }}{\sqrt {1+\operatorname {Cos} .\alpha }}}}}}\right\}^{2}$
   $=\left({\frac {1+\operatorname {Tang} .{\frac {1}{2}}\alpha }{1-\operatorname {Tang} .{\frac {1}{2}}\alpha }}\right)^{2}=\left({\frac {\operatorname {Tang} .{\frac {1}{4}}\varpi +\operatorname {Tang} .{\frac {1}{2}}\alpha }{1-\operatorname {Tang} .{\frac {1}{4}}\varpi \operatorname {Tang} .{\frac {1}{2}}\alpha }}\right)^{2}=\operatorname {Tang} .^{2}\left({\frac {1}{4}}\varpi +{\frac {1}{2}}\alpha \right)$