d’un cercle ; 2.o en considérant la parabole comme une ellipse dont le grand axe est infini ; 3.o enfin, en considérant l’hyperbole comme une ellipse dont le petit axe est imaginaire. C’est ce que nous nous proposons de faire voir dans ce qui va suivre.
I. En considérant l’ellipse comme la projection orthogonale d’un cercle, et se rappelant que l’aire de la projection d’une figure plane sur un plan quelconque est le produit de l’aire de cette figure par le cosinus tabulaire de l’angle des deux plans, on prouve facilement que l’aire d’une ellipse est équivalente à celle d’un cercle dont le rayon serait moyen proportionnel entre ses deux demi-axes.
La même considération prouve aussi que les coordonnées perpendiculaires à l’un des axes d’une ellipse ne sont autre chose que les ordonnées du cercle décrit sur cet axe comme diamètre, augmentées ou diminuées dans le rapport des deux axes de l’ellipse ; et on conclut aisément de là que, si un cercle et une ellipse ont un axe commun, les segmens des deux courbes répondant à une même abscisse seront aussi entre eux dans le rapport des deux axes.
Rien n’est plus facile d’après cela que d’obtenir l’expression de l’aire d’un demi-segment elliptique, borné par une perpendiculaire à son grand axe. Soient et les demi-axes de l’ellipse ; soit la perpendiculaire qui termine le segment, et l’abscisse correspondante. Soit décrit un cercle sur le diamètre l’ordonnée prolongée déterminera un demi-segment circulaire, et nous aurons
Le demi-segment circulaire est l’excès d’un secteur sur un triangle ; et comme, en désignant par l’ordonnée du cercle correspondant à l’ordonnée de l’ellipse, on a il s’ensuit que
