dire, qu’il ne dit ni trop ni trop peu ; attendu qu’assujettir quatre droites à appartenir à une même surface du second ordre, c’est réellement les assujettir à trois conditions.
En effet, on peut, à l’aide des équations de trois de ces droites, trouver l’équation de la surface du second ordre qu’elles déterminent ; et, si l’on suppose que les équations de la quatrième sont
il faudra que les valeurs qu’elles donnent pour et , substituées dans l’équation de cette surface, conduisent à une équation qui laisse indéterminé ; mais, cette équation étant du second degré, il faudra que le coefficient de , celui de et le terme sans soient séparément nuls, ce qui donnera bien trois conditions distinctes.
Au surplus, comme suivant la maxime des écoles : Ab actu ad posse valet consecutio, la manière la plus lumineuse de prouver qu’assujettir quatre droites à appartenir à une même surface du second ordre c’est les assujettir à trois conditions distinctes, c’est incontestablement de produire ces trois conditions. Le calcul en serait assez compliqué si l’on supposait les axes des ordonnées situés d’une manière quelconque, par rapport à ces quatre droites ; mais, en les choisissant d’une manière convenable, on peut parvenir au but par un calcul très-simple et très-symétrique.
Soient, en effet, quatre droites indéfinies, que nous supposons n’être assujetties qu’à la seule condition d’appartenir à une surface du second ordre. Prenons l’origine en un point quelconque de l’une d’elles et les axes respectivement parallèles aux trois autres ; ces trois dernières déterminent une certaine surface du second ordre, et il s’agit d’exprimer que la quatrième est tout entière dans cette surface.
Ces choses ainsi entendues, considérons l’équation
