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${\frac {e^{m(h-z)}+e^{-m(h-z)}}{e^{mh}+e^{-mh}}}=Z,$

et conservé la lettre $R$ à la place de sa valeur donnée par l’équation (21).

L’expression de $\varphi$ ne dépend, comme on voit, dans ce cas particulier, que d’une seule somme $\Sigma ,$ qui répond aux valeurs de $m$ tirées de l’équation (17), et relatives à $n=0,$ ce qui réduit cette équation à

$\int _{0}^{\varpi }\operatorname {Sin} .(ma\operatorname {Cos} .\omega )\operatorname {Cos} .\omega \operatorname {d} \omega =0,\qquad$(23)

ou, ce qui est la même chose, à

$1-{\frac {2x}{(1.2)^{2}}}+{\frac {3x^{2}}{(1.2.3)^{2}}}-{\frac {4x^{3}}{(1.2.3.4)^{2}}}+{\frac {5x^{4}}{(1.2.3.4.5)^{2}}}-\ldots =0,$

en développant son premier membre suivant les puissances de $ma,$ supprimant le facteur $ma$ commun à tous ses termes, et faisant $m^{2}a^{2}=4x.$

Si l’on fait $n=0$, dans la seconde équation (17), on a

${\frac {\operatorname {d} \nu '}{g\operatorname {d} t}}=\operatorname {f} r,$

pour $t=0\,;$ et, comme $\nu '$ est la valeur de $\nu$ ou de $\varphi$ qui répond à $z=0,$ il résulte de l’équation (2) que $\operatorname {f} r$ est la valeur de $z'$ relative à $t=0.$ Ainsi, la fonction $\operatorname {f} r,$ donnée arbitrairement, que renferme l’équation (22), est l’ordonnée d’un point quelconque de la surface de l’eau à l’origine de son mouvement. D’après cela, si l’on fait $t=0$ et $z=0$, dans l’équation (32) différenciée par rapport à $t,$ on en conclura