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ce qui détermine les valeurs des coefficiens $P$ et $Q,$ relativement à une racine quelconque $m$ de l’équation (13).

La formule (14) ne contenant plus maintenant que des quantités connues, il en sera de même à l’égard de la formule (7), qui peut être écrite ainsi :

$\varphi =\Sigma \nu ,\qquad$(20)

la somme $\Sigma$ s’étendant à toutes les valeurs de $n$, depuis $n=0$ jusqu’à $n=\infty$, pourvu que l’on ne prenne que la moitié de son premier terme. Les différences partielles de cette expression de $\varphi ,$ relatives à $t,z,r,\psi ,$ feront connaître, à un instant quelconque, la figure de la surface du fluide, et les vîtesses de la molécule qui répond aux coordonnées $z,r,\psi$. En appelant $p$ la pression, rapportée à l’unité de surface, qui a lieu au même point, on aura

$p=gz-{\frac {\operatorname {d} \varphi }{\operatorname {d} t}},$

la densité du fluide étant prise pour unité ; et cette pression étant supposée nulle à la surface. L’état du fluide est donc complètement déterminé, et la solution complète du problème proposé est donnée par la formule (20).

Cette expression de $\varphi$ dépendra, en général, de deux sommations successives : l’une relative aux racines $m$ de l’équation (13), et l’autre relative au nombre $n.$ Au moyen de l’équation (18), on prouvera, que ces racines sont toutes réelles, quel que soit le nombre $n$, qui entre dans l’équation (13). Je crois inutile de répéter ici cette démonstration qui se trouve déjà en plusieurs endroits de mes autres mémoires^[1]. Il en résulte que tous les termes de l’ex-

1. Voy. aussi le Bulletin de la société philomatique, octobre 1826, pag. 145.