Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1828-1829, Tome 19.djvu/241

$Q'={\frac {g\operatorname {Cos} .nt}{k'}}\int _{0}^{a}R'r\operatorname {f} r.\operatorname {d} r+{\frac {g\operatorname {Sin} .nt}{k'}}\int _{0}^{a}R'r\operatorname {f} 'r.\operatorname {d} r,$

pour les valeurs demandées de $P'$ et $Q'$. Il ne reste plus qu’à déterminer, d’après ces valeurs, celles des coefficiens $P$ et $Q,$ contenus dans la formule (14).

En faisant $z=0$, dans cette formule, on en déduit

$\nu '=\Sigma (P\operatorname {Cos} .kt+Q\operatorname {Sin} .kt)R\left(e^{mh}+e^{-mh}\right)\,;$

expression que je substitue dans le premier membre de l’équation (16). Comme son second membre ne contient que le $cosinus$ et le $sinus$ de $k't,$ il faudra, pour qu’elle soit identique, que les termes dépendans d’un autre angle $kt$ disparaissent dans son premier membre ; ou, autrement dit, si $m'^{2}$ diffère de $m^{2},$ et, par suite $k'^{2}$ de $k^{2},$ il faudra qu’on ait

$\int _{0}^{a}RR'r\operatorname {d} r=0.\qquad$(18)

Dans le cas particulier de $m'=m,$ et d’après les valeurs trouvées pour $P'$ et $Q'$, on aura en même temps

$\left.{\begin{aligned}&\qquad \qquad P\left(e^{mh}+e^{-mh}\right)\int _{0}^{a}R^{2}r\operatorname {d} r\\\\&=\operatorname {Cos} .n\psi \int _{0}^{a}Rr\operatorname {F} r.\operatorname {d} r+\operatorname {Sin} .n\psi \int _{0}^{a}Rr\operatorname {F} 'r.\operatorname {d} r,\\\\&\qquad \qquad Q\left(e^{mh}+e^{-mh}\right)\int _{0}^{a}R^{2}r\operatorname {d} r\\\\&={\frac {g\operatorname {Cos} .n\psi }{k}}\int _{0}^{a}Rr\operatorname {f} r.\operatorname {d} r+{\frac {g\operatorname {Sin} .n\psi }{k}}\int _{0}^{a}Rr\operatorname {f} 'r.\operatorname {d} r\,;\end{aligned}}\right\}\quad$(19)