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Je désigne par $R'$ ce que devient $R$ quand on y change $m$ en $m'.$ Au moyen de l’intégration par parties, on aura

$\int {\frac {\operatorname {d} u{\sqrt {r}}}{\operatorname {d} r}}R'{\sqrt {r}}\operatorname {d} r$

$={\frac {\operatorname {d} u{\sqrt {r}}}{\operatorname {d} r}}R'{\sqrt {r}}-u{\sqrt {r}}{\frac {\operatorname {d} R'{\sqrt {r}}}{\operatorname {d} t}}+\int u{\sqrt {r}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}R'{\sqrt {r}}}{\operatorname {d} r^{2}}}\operatorname {d} r\,;$

Les termes compris sous le signe $\int$ s’évanouissent avec $r\,;$ ils s’évanouissent également pour $r=a,$ à cause que l’on a, à celle seconde limite,

${\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} r}}=0,\qquad {\frac {\operatorname {d} R'}{\operatorname {d} r}}=0\,;$

on aura donc

$\int _{0}^{a}{\frac {\operatorname {d} ^{2}u{\sqrt {r}}}{\operatorname {d} r^{2}}}R'{\sqrt {r}}\operatorname {d} r=\int _{0}^{a}{\frac {\operatorname {d} ^{2}R{\sqrt {r}}}{\operatorname {d} r^{2}}}u{\sqrt {r}}\operatorname {d} r\,;$

par conséquent, si l’on multiplie l’équation (15) par $R'{\sqrt {r}}\operatorname {d} r,$ et qu’on intègre ses deux membres depuis $r=0$ jusqu’à $r=a,$ il en résultera

$\int _{0}^{a}\left[{\frac {\operatorname {d} ^{2}R{\sqrt {r}}}{\operatorname {d} r^{2}}}-\left(n^{2}-{\frac {1}{4}}\right){\frac {R'{\sqrt {r}}}{r^{2}}}+m'^{2}R'{\sqrt {r}}\right]u{\sqrt {r}}\operatorname {d} r$

$={\frac {1}{n}}\left(e^{m'h}+e^{-m'h}\right)\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}.\int _{0}^{a}\nu 'R'r\operatorname {d} r}{\operatorname {d} t^{2}}}+k'^{2}\int _{0}^{a}\nu 'R'r\operatorname {d} r\right).$

Mais, d’après l’équation (11), on a

${\frac {\operatorname {d} ^{2}R'{\sqrt {r}}}{\operatorname {d} r^{2}}}-\left(n^{2}-{\frac {1}{4}}\right){\frac {R'{\sqrt {r}}}{r^{2}}}+m'^{2}R'{\sqrt {r}}=0\,;$