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l’intégrale complète de cette équation sera

$T=P\operatorname {Cos} .kt+Q\operatorname {Sin} .kt,$

$P$ et $Q$ étant deux constantes arbitraires.

Maintenant la valeur de $\nu$, qui satisfait aux équations (9) et (10), sera

$\nu =\Sigma (P\operatorname {Cos} .kt+Q\operatorname {Sin} .kt)R\left(e^{m(h-z)}+e^{-m(h-z)}\right)\,;\qquad$(14)

la fonction $R$ étant donnée par la formule (12), et la somme $\Sigma$ s’étendant à toutes les valeurs possibles de $P$ et $Q,$ mais seulement aux valeurs de $m$ tirées des équations (13). Ses racines sont deux à deux égales et de signes contraires ; mais on peut réunir en un seul les deux termes de la somme $\Sigma$ qui répondent à chaque couple de racines, et n’étendre ensuite cette somme aux valeurs de $m$ dont les carrés sont différens.

(5) Pour déterminer les coefficiens $P$ et $Q$ en fonctions de $m$, d’après l’état initial du fluide, je ferai usage de la méthode que j’ai déjà employée dans beaucoup d’autres cas, et dont cette détermination fournira un exemple digne de remarque.

Soit $m'$ une racine quelconque de l’équation (3) ; multiplions l’équation (9) par $\left(e^{m'(h-z)}+e^{-m'(h-z)}\right)\operatorname {d} z,$ puis intégrons tous ses termes, depuis $z=0$ jusqu’à $z=h\,;$ en faisant pour abréger

$\int _{0}^{h}\left(e^{m'(h-z)}+e^{-m'(h-z)}\right)\nu \operatorname {d} z=u,$

nous aurons

$\int _{0}^{h}\left(e^{m'(h-z)}+e^{-m'(h-z)}\right){\frac {\operatorname {d} ^{2}\nu }{\operatorname {d} z^{2}}}\operatorname {d} z+{\frac {\operatorname {d} ^{2}u}{\operatorname {d} r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} r}}-{\frac {n^{2}u}{r}}=0.$