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pour $r=a$ ; condition nécessaire pour que les mêmes molécules restent constamment adjacentes à la surface latérale du cylindre, et analogues aux équations (3) et (4) relatives à la surface du fluide et au fond du vase. On doit observer que, si les conditions exprimées par ces trois équations n’étaient pas constamment remplies, pendant le mouvement du fluide, ce mouvement serait très-compliqué et peu susceptible d’être déterminé par le calcul. C’est pour cela que Lagrange a mis ces équations, dans la Mécanique analitique, au nombre de celles qui doivent concourir à la détermination du mouvement.

Cela posé, la question que nous aurons à résoudre se divisera en deux parties : la première consistera à satisfaire, par la valeur la plus générale de $\varphi ,$ aux équations (3), (4), (5), (6) ; dans la seconde, il s’agira de déterminer, d’après l’état initial du fluide, les quantités arbitraires que cette valeur générale pourra renfermer.

(3) Les valeurs de $\varphi$ et de ses différences partielles sont égales pour $\psi =0$ et $\psi =2\varpi$, puisqu’elles appartiennent à un même point du fluide, $\varpi$ étant le rapport de la circonférence au diamètre. Cela étant, quelle que soit cette fonction $\varphi ,$ on pourra la représenter par la formule connue

$\varphi ={\frac {1}{2\varpi }}\int _{0}^{2\varpi }\varphi '\operatorname {d} \psi '+{\frac {1}{\varpi }}\Sigma \left(\int _{0}^{2\varpi }\varphi '\operatorname {Cos} .n(\psi -\psi ')\operatorname {d} \psi '\right)\,;\quad$(7)

et les différences partielles de $\varphi ,$ ou les vitesses du fluide, seront aussi exprimées par les différences partielles de cette même formule dans laquelle $\varphi '$ est ce que devient $\varphi$ quand on y met $\psi '$ à la place de $\psi$ ; $n$ représente un nombre entier et positif, et la somme $\Sigma$ s’étend à toutes les valeurs de $n$, depuis $n=1$ jusqu’à $n=\infty$.

En intégrant par parties, on a