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$\varphi (x,y)=0$

exprime tous les points d’un plan dont les coordonnées peuvent la résoudre ; et on sait que, généralement parlant, ces points sont ceux d’une certaine ligne continue, droite ou courbe. De là il résulte évidemment que le système de deux équations, telles que

$\varphi (x,y)=0,\qquad \psi (x,y)=0,$

exprime des points isolés les uns des autres, lesquels sont ceux où se coupent les lignes que représentent ces deux équations prises séparément. Ces points sont en effet les seuls dont les coordonnées puissent satisfaire à ces deux équations à la fois.

Présentement, qu’exprimera l’équation

$\varphi (x,y)\varphi '(x,y)\varphi ''(x,y)\ldots =0\,?$

Évidemment elle exprimera la totalité des points du plan des axes dont les coordonnées réduiront son premier membre à zéro ; or, comme ce premier membre est un produit de facteurs, il pourra devenir nul d’autant de manières qu’il a de facteurs ; de sorte que les points dont il s’agit seront ceux des courbes données par les équations

$\varphi (x,y)=0,\quad \varphi '(x,y)=0,\quad \varphi ''(x,y)=0,\ldots$

Si ces principes doivent être admis, et nous ne voyons pas trop par quel côté ils pourraient être vulnérables, il faudra nécessairement admettre que l’équation

$(ax+by+c)(a'x+b'y+c')=0\qquad$(1)

exprime le système de deux droites, tout comme l’équation