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du cerle ex-inscrit qui répond à l’hypothénuse et au centre du cercle inscrit.

Tous ces divers résultats doivent avoir leurs analogues relatifs aux huits sphères qui touchent à la fois les quatre faces d’un tétraèdre ; bornons-nous au cas le plus simple.

Soient $a',b',c',d'$ les perpendiculaires abaissées sur les plans des faces $a,b,c,d$ du tétraèdre $T$ des sommets respectivement opposés ; on aura cette quadruple équiation

$aa'=bb'=cc'=\operatorname {d} '=3T,$

de laquelle, tirant les valeurs de $a,b,c,d$ pour les substituer dans les huit équations de la pag. 93, il viendra, en divisant par $3T,$

${\frac {1}{r}}={\frac {1}{a'}}+{\frac {1}{b'}}+{\frac {1}{c'}}+{\frac {1}{d'}},\qquad$(31)

$\left.{\begin{aligned}&{\frac {1}{\alpha }}={\frac {1}{b'}}+{\frac {1}{c'}}+{\frac {1}{d'}}-{\frac {1}{a'}},\\\\&{\frac {1}{\beta }}={\frac {1}{c'}}+{\frac {1}{d'}}+{\frac {1}{a'}}-{\frac {1}{b'}},\\\\&{\frac {1}{\gamma }}={\frac {1}{d'}}+{\frac {1}{a'}}+{\frac {1}{b'}}-{\frac {1}{c'}},\\\\&{\frac {1}{\delta }}={\frac {1}{a'}}+{\frac {1}{b'}}+{\frac {1}{c'}}-{\frac {1}{d'}}\,;\end{aligned}}\right\}\quad$(32)

$\left.{\begin{aligned}&\pm {\frac {1}{\alpha '}}={\frac {1}{b'}}+{\frac {1}{c'}}-{\frac {1}{a'}}-{\frac {1}{d'}},\\\\&\pm {\frac {1}{\beta '}}={\frac {1}{c'}}+{\frac {1}{a'}}-{\frac {1}{b'}}-{\frac {1}{d'}},\\\\&\pm {\frac {1}{\gamma '}}={\frac {1}{a'}}+{\frac {1}{b'}}-{\frac {1}{c'}}-{\frac {1}{d'}}\,;\end{aligned}}\right\}\quad$(33)