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$\alpha \beta \gamma =r(\beta \gamma +\gamma \alpha +\alpha \beta )\,;\qquad$(15)

en substituant donc, on aura

$bc+ca+ab=\beta \gamma +\gamma \alpha +\alpha \beta +\alpha r+\beta r+\gamma r,\qquad$(16)

c’est-à-dire, la somme des produits, deux à deux, des rayons des quatre cercles qui touchent à la fois les trois côtés d’un triangle, est égale à la somme des produits, deux à deux, de ces trois côtés.

Les mêmes équations (5) donnent

$a+b+c={\frac {3\alpha \beta \gamma -2(\beta \gamma +\gamma \alpha +\alpha \beta )r}{\alpha \beta \gamma r}}T\,;$

ou, en vertu des équations (3) et (15)

$a+b+c={\frac {r(\beta \gamma +\gamma \alpha +\alpha \beta )+\alpha \beta \gamma }{T}}\,;$

et par conséquent

$\alpha \beta \gamma +\beta \gamma r+\gamma \alpha r+\alpha \beta r=T(a+b+c)\,;\qquad$(17)

c’est-à-dire, la somme des produits, trois à trois, des rayons des quatre cercles qui touchent les trois côtés d’un triangle, est égale à l’aire du triangle, multipliée par son périmètre.

L’équation (8) donne, en développant,

$R={\frac {\alpha \beta \gamma -(\beta \gamma +\gamma \alpha +\alpha \beta )r+(\alpha +\beta +\gamma )r^{2}-r^{3}}{4r^{2}}}\,;$

ou, en réduisant, au moyen de l’équation (15),

$R={\frac {1}{4}}(\alpha +\beta +\gamma -r)\,;\quad$(18)

c’est l’élégant théorème de M. Bobillier.