Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1828-1829, Tome 19.djvu/218

$\left.{\begin{aligned}&{\frac {1}{r}}={\frac {1}{a'}}+{\frac {1}{b'}}+{\frac {1}{c'}},\\\\&{\frac {1}{\alpha }}={\frac {1}{b'}}+{\frac {1}{c'}}-{\frac {1}{a'}},\\\\&{\frac {1}{\beta }}={\frac {1}{c'}}+{\frac {1}{a'}}-{\frac {1}{b'}},\\\\&{\frac {1}{\gamma }}={\frac {1}{a'}}+{\frac {1}{b'}}-{\frac {1}{c'}}\,;\end{aligned}}\right\}\quad$(14)

c’est-à-dire, l’inverse du rayon du cercle inscrit à un triangle est égal à la somme des inverses des trois hauteurs de ce triangle ;

L’inverse du rayon de l’un quelconque des trois cercles ex-inscrit, est égal à la somme des inverses des hauteurs qui répondent aux deux autres, moins l’inverse de la hauteur qui répond à celui-là.

En rapprochant la première des équations (14) de l’équation (2), on peut dire encore que la somme des inverses des rayons des trois cercles ex-inscrits, est égale à la somme des inverses des trois hauteurs du triangle.

Les équations (5) donnent

${\begin{aligned}&bc={\frac {\alpha (\beta -r)(\gamma -r)}{r}},\\\\&ca={\frac {\beta (\gamma -r)(\alpha -r)}{r}},\\\\&ab={\frac {\gamma (\alpha -r)(\beta -r)}{r}}\,;\end{aligned}}$

d’où, en ajoutant,

$bc+ca+ab={\frac {3\alpha \beta \gamma -2(\beta \gamma +\gamma \alpha +\alpha \beta )r+(\alpha +\beta +\gamma )r^{2}}{r}}\,;$

mais l’équation (2) donne