Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1828-1829, Tome 19.djvu/213

$\lambda =\left\{{\begin{aligned}&p'\left(T'\operatorname {Cos} .t{\sqrt {r'}}+U'\operatorname {Sin} .t{\sqrt {r'}}\right)\\+&p''\left(T''\operatorname {Cos} .t{\sqrt {r''}}+U''\operatorname {Sin} .t{\sqrt {r''}}\right)\\+&p'''\left(T'''\operatorname {Cos} .t{\sqrt {r'''}}+U'''\operatorname {Sin} .t{\sqrt {r'''}}\right)\end{aligned}}\right\},$

$\mu =\left\{{\begin{aligned}&q'\left(T'\operatorname {Cos} .t{\sqrt {r'}}+U'\operatorname {Sin} .t{\sqrt {r'}}\right)\\+&q''\left(T''\operatorname {Cos} .t{\sqrt {r''}}+U''\operatorname {Sin} .t{\sqrt {r''}}\right)\\+&q'''\left(T'''\operatorname {Cos} .t{\sqrt {r'''}}+U'''\operatorname {Sin} .t{\sqrt {r'''}}\right)\end{aligned}}\right\},\quad$ (19)

en désignant par $T',T'',T''',U',U'',U'''$ six constantes tout à fait arbitraires, dont les valeurs ne dépendent que de l’état initial du corps flottant.

Maintenant l’équation

$C{\frac {\operatorname {d} ^{2}\nu }{\operatorname {d} t^{2}}}-G{\frac {\operatorname {d} ^{2}\mu }{\operatorname {d} t^{2}}}-H{\frac {\operatorname {d} ^{2}\lambda }{\operatorname {d} t^{2}}}=0,$

qui fait partie des équations (13) donne, en intégrant,

$C\nu -G\mu -H\lambda =O+O'i,\qquad$(20)

dans laquelle $O$ et $O'$ sont deux nouvelles constantes qu’il faudra déterminer d’après l’état initial du fluide.

Cette équation servant à déterminer $\nu$, en fonction de $\lambda$ et $\mu$ déjà donnés par les équations (19), la solution générale du problème que nous nous étions proposé se trouve ainsi tout à fait complète, du moins dans le cas où l’équation (17) a ses trois racines inégales. Dans le cas contraire, les expressions (18) et (19) ne sont plus complètes, la précédente solution est alors en défaut, et il en serait de même si une des racines de l’équation (17) était nulle ; mais il est heureusement facile d’obtenir, dans ces cas mêmes, la solution générale du problème.

Supposons, en effet, que l’on ait ${\sqrt {r''}}={\sqrt {r'}}+i,\ i$ étant une quantité très-petite, nous aurons

$\operatorname {Cos} .t{\sqrt {r''}}=\operatorname {Cos} .t{\sqrt {r'}}-{\frac {it}{1}}\operatorname {Sin} .t{\sqrt {r'}}+{\frac {i^{2}t^{2}}{1.2}}\operatorname {Cos} .t{\sqrt {r'}}-\ldots$