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due de l’espace occupé par le corps flottant. En substituant cette valeur dans l’équation (1) elle deviendra ;

$\operatorname {S} \left({\frac {\operatorname {d} ^{2}x\delta x+\operatorname {d} ^{2}y\delta y+\operatorname {d} ^{2}z\delta z}{\operatorname {d} t^{2}}}\right)\mathrm {D} m=g\operatorname {S} \delta z\mathrm {D} m-\iiint \delta p.\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z.\quad$(3)

Il nous reste à mettre dans cette équation la valeur de $\delta p,$ valeur que nous ne pouvons trouver qu’en supposant l’équilibre du fluide ; ce qui donne, comme l’on sait,

$\delta p=g\Delta \delta z,\qquad$(4)

en désignant par $\Delta$ la densité de ce fluide. Au moyen de cette valeur, l’équation (3) deviendra

$\operatorname {S} \left({\frac {\operatorname {d} ^{2}x\delta x+\operatorname {d} ^{2}y\delta y+\operatorname {d} ^{2}z\delta z}{\operatorname {d} t^{2}}}\right)\mathrm {D} m=g\operatorname {S} \delta z\mathrm {D} m-g\iiint \Delta \delta z.\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z\,;\quad$(5)

dans laquelle il faudra substituer les valeurs de $\delta x,\delta y,\delta z,$ données par les équations (2) ; mais il convient auparavant de lui faire subir encore une transformation.

Désignons par $X,Y,Z$ les coordonnées du centre de gravité du corps flottant, et faisant

$x=X+x',\qquad y=Y+y',\qquad z=Z+z',$

nous aurons identiquement

${\begin{aligned}&\operatorname {S} x\mathrm {D} m=\operatorname {S} X\mathrm {D} m+\operatorname {S} x'\mathrm {D} m=mX+\operatorname {S} x'\mathrm {D} m,\\&\operatorname {S} y\mathrm {D} m\,=\operatorname {S} Y\mathrm {D} m+\operatorname {S} y'\mathrm {D} m=mY+\operatorname {S} y'\mathrm {D} m,\\&\operatorname {S} z\mathrm {D} m\ =\operatorname {S} Z\mathrm {D} m+\operatorname {S} z'\mathrm {D} m=mZ+\operatorname {S} z'\mathrm {D} m\,;\end{aligned}}$

mais d’un autre côté, par la propriété du centre de gravité, on doit avoir