Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1828-1829, Tome 19.djvu/196

il convient de mettre le terme $\int p\omega \delta r$ de cette équation sous une forme qui se prête plus facilement aux calculs que nous aurons à effectuer par la suite.

Lorsque le corps flottant est entièrement plongé dans le fluide, cette intégrale $\int p\omega \delta r$ doit être prise dans toute l’étendue de la surface de ce corps. Or, on pourra toujours admettre qu’il en est ainsi, pourvu qu’on regarde, s’il le faut, la densité du fluide comme étant nulle dans une étendue plus ou moins considérable. Au moyen de ce petit artifice, nous n’aurons plus besoin de distinguer le cas où le corps flottant est entièrement plongé dans le fluide de celui où il ne l’est qu’en partie seulement.

Cela posé, soient $a,b,c$ les coordonnées de l’origine de la normale ; nous aurons

$r^{2}=(a-x)^{2}+(b-y)^{2}+(c-z)^{2}$

et par suite

$\delta r=-{\frac {a-x}{r}}\delta x-{\frac {b-y}{r}}\delta y-{\frac {c-z}{r}}\delta z,$

d’où on conclura

$-\int p\omega \delta r=\int p\omega .{\frac {a-x}{r}}\delta x+\int p\omega .{\frac {b-y}{r}}\delta y+\int p\omega .{\frac {c-z}{r}}\delta z.$

Présentement nous observerons que l’expression est celle du cosinus de l’angle que ferait cette normale avec une parallèle menée par son pied, à l’axe des $x\,;$ et que, par suite, cette expressions est aussi celle du cosinus de l’inclinaison de l’élément $\omega ,$ sur le plan des $yz\,;$ de sorte que la projection de cet élément sur le plan des $yz$ est, abstraction faite de son signe, égale à $\omega .{\frac {a-x}{r}}.$ Appelant donc $\operatorname {d} y\operatorname {d} z$ cette projection, nous aurons