Comme dans les cas réellement utiles, ces diverses suppositions ne s’écartent que bien peu de la vérité, les résultats auxquels elles conduisent peuvent être considérés comme suffisamment approchés ; nous les adopterons donc dans ce qui va suivre ; mais, à cela près, nous présenterons une solution purement analitique dtt problème général, tel que nous l’avons posé ci-dessus.
Représentons, suivant l’usage, par la gravité, la masse d’une molécule quelconque du corps flottant par la pression normale qu’éprouve chaque point d’un élément de la surface de ce corps par la normale correspondante, mesurée depuis un point de cette droite pris dans l’intérieur du corps, par , prenant l’axe des vertical et dirigé de haut en bas, et observant que la pression tend à diminuer la longueur de la normale, nous aurons, pour déterminer le mouvement du corps flottant, l’équation
dans laquelle les intégrales indiquées par la caractéristique sont relatives à la molécule , et doivent s’étendre à toute la masse du corps flottant, tandis que l’intégrale indiquée par la caractéristique est relative à l’élément et doit s’étendre seulement à toute la partie de la surface de ce même corps qui est baignée par le fluide. On doit observer, en outre, que les variations ne sont pas entièrement arbitraires, parce qu’elles doivent satisfaire à la condition d’invariabilité de distance entre deux molécules quelconques. Cette condition va nous conduire à la forme la plus générale de ces variations.
En désignant par les coordonnées de deux molécules quelconques du corps flottant, le carré de leur distance exprimé par
