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On reconnaît aisément que ces valeurs répondent à deux points, l’un sur le côté $c$ lui-même et l’autre sur son prolongement, dont les distances à ses deux extrémités sont en raison inverse des sinus des angles $\alpha '$ et $\beta '$ qui leur correspondent ou en raison directe de leurs cosécantes ; de sorte que la solution du problème proposé est renfermé dans le théorème suivant :

THÉORÈME II. Des sommets des trois angles $\alpha ,\beta ,\gamma$ d’un triangle donné, pris tour à tour pour centres, soient décrits trois cercles dont les rayons, d’ailleurs de grandeur arbitraire, soient respectivement proportionnels aux cosécantes de trois angles donnés $\alpha ',\beta ',\gamma '$ et soient déterminés les centres d’homologie ou de similitude de ces trois cercles, pris successivement deux à deux. Si, sur les distances entre les deux centres d’homologie relatifs à chaque couple de cercles, prises tour à tour pour diamètres, on décrit trois nouveaux cercles, ces derniers passeront tous trois par deux points, centres de deux cercles tels que les angles circonscrits qui auront mêmes sommets que les trois angles $\alpha ,\beta ,\gamma$ du triangle donné seront respectivement égaux à $2\alpha ',2\beta ',2\gamma '$ ^[1].

↑ C’est exactement à cela que revient, pour le fond, une solution qui nous a été adressée par M. Pagliani, cadet au corps royal des Pionniers à Modène ; mais l’auteur se borne à démontrer une construction que sa sagacité lui a suggérée, tandis qu’ici l’analyse fait découvrir cette construction.
On sait que tous les points du plan de deus cercles, desquels ces cercles sont vus sous des angles égaux sont ceux de la circonférence décrite sur la distance entre leurs centres d’homologie, prise pour diamètre ; d’où il suit que les deux points du plan de trois cercles d’où ces cercles sont vus sous des angles égaux sont ceux où se coupent les trois cercles décrits de la même manière, par rapport à ces trois-là, pris tour à tour deux à deux. D’après cette remarque le théorème pourra être très-brièvement énoncé comme il suit :

Le centre du cercle qui est vu des sommets d’un triangle donné sous trois angles donnés, est le point d’où l’on verrait, sous des angles égaux, trois

[p186-1] C’est exactement à cela que revient, pour le fond, une solution qui nous a été adressée par M. Pagliani, cadet au corps royal des Pionniers à Modène ; mais l’auteur se borne à démontrer une construction que sa sagacité lui a suggérée, tandis qu’ici l’analyse fait découvrir cette construction.
On sait que tous les points du plan de deus cercles, desquels ces cercles sont vus sous des angles égaux sont ceux de la circonférence décrite sur la distance entre leurs centres d’homologie, prise pour diamètre ; d’où il suit que les deux points du plan de trois cercles d’où ces cercles sont vus sous des angles égaux sont ceux où se coupent les trois cercles décrits de la même manière, par rapport à ces trois-là, pris tour à tour deux à deux. D’après cette remarque le théorème pourra être très-brièvement énoncé comme il suit :

Le centre du cercle qui est vu des sommets d’un triangle donné sous trois angles donnés, est le point d’où l’on verrait, sous des angles égaux, trois

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