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le joindront aux deux sommets de $\alpha$ et $\beta$ auront respectivement pour longueurs

${\sqrt {t^{2}+2tu\operatorname {Cos} .\alpha +u^{2}}},\qquad {\sqrt {u^{2}+2u(t-c)\operatorname {Cos} .\alpha +(t-c)^{2}}}\,;$

lesquelles multipliées respectivement par $\operatorname {Sin} .\alpha '$ et $\operatorname {Sin} .\beta '$ donneront deux expressions du rayon du cercle cherché que l’on pourra égaler entre elles ; on aura donc en quarrant

$\left(t^{2}+2tu\operatorname {Cos} .\alpha +u^{2}\right)\operatorname {Sin} .^{2}\alpha '=\left\{u^{2}+2u(t-c)\operatorname {Cos} .\alpha +(t-c)^{2}\right\}\operatorname {Sin} .^{2}\beta '\,;$

telle est donc l’équation du lieu des centres de tous les cercles tels que les angles circonscrits qui ont mêmes sommets que les angles $\alpha$ et $\beta ,$ adjacens au côté $c$ du triangle donné, sont respectivement égaux aux angles donnés $2.\alpha '$ et $2\beta '.$

On reconnaît aisément que cette équation est celle d’un cercle qui a son centre sur l’axe des $x$, c’est-à-dire, sur la direction du côté $c$ du triangle donné ; de sorte qu’il suffira, pour pouvoir le décrire, de connaître les deux extrémités de celui de ses diamètres qui est dirigé suivant cette droite ; c’est ce à quoi on parviendra en faisant dans cette équation $u=0,$ et en déterminant les deux valeurs de $t$ qui en résultent. On obtient ainsi

$t^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha '=(t-c)^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\beta '.$

d’où

$\pm t\operatorname {Sin} .\alpha '=(t-c)\operatorname {Sin} .\beta '.$

et par conséquent

$t={\frac {c\operatorname {Sin} .\beta '}{\operatorname {Sin} .\beta '\pm \operatorname {Sin} .\alpha '}}$