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deviendrait indéterminé, c’est-à-dire qu’il pourrait être résolu par une infinité de cercles se succédant les uns aux autres sans interruption ; les centres de tous ces cercles seraient donc sur une certaine courbe. À chaque sommet du triangle répondrait une semblable courbe, et les courbes, répondant aux trois sommets, se couperaient aux centres des cercles qui résoudraient le problème. Voyons donc quelle est la nature de ces courbes.

Soient $a,b$ deux des côtés du triangle donné et $\gamma$ l’angle compris ; prenons ces deux côtés pour axes des $x$ et des $y$, et cherchons sur quelle courbe se trouvent situés les centres de tous les cercles qui interceptent, sur ces mêmes côtés, des longueurs données $2a'$ et $2b'.$

Soit $(t,u)$ l’un de ces centres ; les perpendiculaires abaissées de ce point sur les deux côtés $a,b$ seront respectivement $u\operatorname {Sin} .\gamma$ et $t\operatorname {Sin} .\gamma \,;$ leurs pieds tomberont sur les milieux des cordes $2a'$ et $2b'\,;$ de sorte qu’en ajoutant respectivement $a'^{2}$ et $b'^{2}$ aux carrés des longueurs de ces perpendiculaires, on sura deux expressions du carré du rayon du cercle qu’on pourra égaler entre elles ; ce qui donnera

$u^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\gamma +a'^{2}=t^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\gamma +b'^{2},$

c’est-à-dire,

$t^{2}-u^{2}={\frac {a'^{2}-b'^{2}}{\operatorname {Sin} .^{2}\gamma }}\,;$

telle est donc l’équation du lieu des centres de tous les cercles qui interceptent sur les deux côtés $a,b$ de l’angle $\gamma$ du triangle donné, des longueurs respectivement égales à $2a'$ et $2b'.$

On reconnaît cette équation pour celle d’une hyperbole dont les asymptotes divisent en deux parties égales les quatre angles que forment les directions des côtés $a$ et $b\,;$ ces asymptotes sont donc rectangulaires, et conséquemment l’hyperbole est équilatère ; elle passe