rencontrent toutes sa polaire par rapport à la surface du second ordre, laquelle se trouve ainsi sur l’hyperboloïde.
Le théorème est donc complètement démontré.
Si, par la transversale, on mène un plan quelconque, il coupera les cônes suivant des coniques ; et il est clair que les pôles de la transversale, par rapport à ces coniques, seront sur l’hyperboloïde, lieu des polaires de la droite ; ils seront par conséquent sur une conique ; et, si le plan mené par la transversale tourne sut cette droite, la conique engendrera l’hyperboloïde.
25. Si des cônes circonscrits à une surface du second ordre ont leurs sommets sur une même droite, les plans diamétraux conjugués à une même droite, relatifs à tous ces cônes, envelopperont un nouveau cône.
En effet, le plan diamétral conjugué à une droite, par rapport à un cône, est le plan diamétral conjugué à la parallèle à cette droite conduite par le sommet du cône ; le théorème énoncé résulte donc du théorème (23) dans lequel on supposerait que le point donné passe à l’infini.
26. Si des cônes circonscrits à une surface du second ordre ont leurs sommets sur une même droite, 1.o tous les diamètres conjugués à un même plan, relatifs à ces cônes, appartiendront à un hyperboloïde passant par la droite diamétrale de la surface du second ordre, conjuguée à ce plan ; 2.o les centres des coniques suivant lesquelles ce plan transversal coupera les cônes circonscrits seront sur une autre conique.
Pour obtenir la démonstration de ce théorème, il suffit de supposer, dans le théorème (24), que la transversale passe à l’infini.
Si le plan transversal est parallèle à la droite qui contient les sommets des cônes circonscrits, l’hyperboloïde se réduira à un plan ; car, dans ce cas, les deux plans tangens à la surface du second ordre, parallèles à celui-là, couperont les cônes suivant des coniques dont les centres seront sur deux droites parallèles au lieu des sommets des cônes.
