port à cette conique ; or, ce plan tangent coupe tous les cônes suivant des coniques qui ont deux centres d’homologie communs, toutes les polaires du point , relatives à ces coniques enveloppent donc une autre conique (Annales, tom. xviii, pag. 296) i d’où il suit que la surface conique enveloppée par les plans polaires de ce point, relatifs aux cônes circonscrits, est une surface conique de second ordre, comme nous l’avions annoncé.
24. Si des cônes circonscrits à une surface du second ordre ont leurs sommets sur une même droite ; les polaires d’une transversale quelconque, relatives à ces cônes, forment un hyperboloïde qui passe par la polaire de cette transversale prise par rapport à la surface du second ordre.
En effet, la polaire d’une droite, par rapport à un cône, n’est autre chose qu§ la droite diamétrale conjuguée au plan mené par cette droite et par le sommet du cône, et passe aussi par ce sommet. Mais si, par la droite donnée, on conduit un plan tangent à la surface du second ordre, il coupera tous les cônes suivant des coniques qui auront deux centres d’homologie communs (22) ; les pôles de cette droite, par rapport à ces coniques, seront donc sur une même droite (Annales, tom. xviii, pag. 296, 3.o) ; or, ces pôles appartiennent évidemment aux polaires de la droite, par rapport aux cônes respectivement ; d’où il suit que ces plans s’appuyent sur la droite
Si, par la droite donnée, on conduit un deuxième plan tangent à la surface du second ordre, on obtiendra une deuxième droite sur laquelle s’appuyeront également les polaires ; or, elles passent aussi par la droite, lieu des sommets des cônes ; elles s’appuyent donc sur trois droites fixes, ce qui prouve qu’elles appartiennent à un hyperboloïde à une nappe.
Il est facile de voir que les polaires d’une droite, par rapport à deux surfaces du second ordre circonscrites l’une à l’autre, se rencontrent en un point du plan de la ligne de contact de ces surfaces ; donc les polaires de la transversale, par rapport aux cônes,
