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$\mathrm {C_{3}C_{5}=C_{3}C_{4}-C_{4}C_{5}} ={\frac {H}{16}},$

$\mathrm {C_{5}C_{7}=C_{5}C_{6}-C_{6}C_{7}} ={\frac {H}{64}},$

. . . . . . . . . . . . . . .

ou

$\mathrm {C_{1}P} ={\frac {H}{3}}=\mathrm {C_{1}C_{3}+C_{3}C_{5}+C_{5}C_{7}+C_{7}C_{9}} +\ldots \,;$

donc, en subtituant

${\frac {H}{3}}={\frac {H}{4}}+{\frac {H}{16}}+{\frac {H}{64}}+{\frac {H}{256}}+{\frac {H}{1024}}+\ldots \qquad$(1)

Cela posé, soit $T$ un tétraèdre quelconque dont la base soit $B$ et la hauteur $H\,;$ on sait (voy. Euclide ou M. Legendre) qu’il peut être décomposé en deux prismes triangulaires équivalens et en deux tétraèdres égaux ; que chacun de ces prismes triangulaires a pour mesure ${\frac {B}{2}}\times {\frac {H}{2}}={\frac {BH}{8}},$ de sorte que le volume total des deux est $B\times {\frac {H}{4}}.$ Si donc on représente par $T_{1}$ chacun des tétraèdres qui, avec eux, forment le tétraèdre donné, on aura

$T=B\times {\frac {H}{4}}+2T_{1}.$

Si l’on désigne respectivement par $B_{1}$ et $H_{1}$ la base et la hauteur de chacun des tétraèdres $T_{1},$ et qu’on les décompose de la même manière, en désignant par $T$ chacun des deux tétraèdres qui résultent de la décomposition de chacun d’eux, on aura de même

$T_{1}=B_{1}\times {\frac {H_{1}}{4}}+2T_{2}.$

et ainsi de suite ; de sorte qu’on pourra écrire indéfiniment