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GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE.

Mesure du volume du tétraèdre ;

Par M. Gergonne.

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Soit un triangle isocèle $\mathrm {ACB}$ dont la base $\mathrm {AB}$ soit quelconque et la hauteur égale à une longueur donnée $H.$ Soit construite une suite indéfinie d’autres triangles isocèles $\mathrm {A_{1}C_{1}B_{1},A_{2}C_{2}B_{2},A_{3}C_{3}B_{3}} ,\ldots$ tels que les sommets du premier soient les milieux des côtés du triangle $\mathrm {ACB,}$ et que les sommets de chacun des autres soient les milieux des côtés de celui qui le précède immédiatement. Il a déjà été remarqué (Annales, tom. xvii, pag. 151), et il est d’ailleurs facile de voir que ces triangles, tous semblables et continuellement décroissans, tendront sans cesse à se réduire à un point unique $\mathrm {P}$, tellement situé sur $\mathrm {CC_{1}}$ ou $H$ qu’on aura $\mathrm {C_{1}P={\frac {CC_{1}}{3}}} ={\frac {H}{3}}.$

Dans la série des longueurs

$\mathrm {CC_{1},C_{1}C_{2},C_{2}C_{3},C_{3}C_{4},C_{4}C_{5}} ,\ldots$

chaque longueur sera moitié de celle qui la précède immédiatement, et, comme la première est égale à $H,$ on aura

$\mathrm {C_{1}C_{2}} ={\frac {H}{2}},\ \mathrm {C_{2}C_{3}} ={\frac {H}{4}},\ \mathrm {C_{3}C_{4}} ={\frac {H}{8}},\ \mathrm {C_{4}C_{5}} ={\frac {H}{16}},\ldots \,;$

on aura donc, d’après cela,

$\mathrm {C_{1}C_{3}=C_{1}C_{2}-C_{2}C_{3}} ={\frac {H}{4}},$